El Conjunto de Cantor

George Cantor

El conjunto de Cantor ternario consiste de todos aquellos números reales [0,1] que tienen expansión ternaria {𝑎𝑛} para lo cual 𝑎𝑛 nunca es 1. (Si x tiene dos expansiones ternarias, ponemos x en el conjunto de Cantor si una de las expansiones no tiene término igual a 1). Demuestre que C es un conjunto cerrado, y que C es obtenido primero removiendo el tercio medio (1/3, 2/3) de [0,1], luego removiendo los tercios medios (1/9, 2/9) y (7/9, 8/9) de los intervalos restantes y así sucesivamente.

El conjunto de Cantor lleva este nombre en alusión al matemático alemán George Cantor, se obtiene a partir del intervalo cerrado [0,1] e ir haciendo iteraciones sucesivas.

Cada iteración consiste e dividir el segmento en tres partes iguales y  

Eliminando el tercio medio, la primera iteración que como:

Para la siguiente iteración, en cada intervalo se realizará el mismo procedimiento 

Eliminando el noveno medio, la segunda iteración queda como:

Para la siguiente iteración cada intervalo se dividirá en tres partes y eliminado el veintisieteavo medio.

Así sucesivamente. 

Podemos expresar a la unión de todos los intervalos cerrados que permanecen hasta la enésima iteración como 𝐶𝑛 

El conjunto de cantor está formado por la intersección de la unión de intervalos cerrados, obtenidos en las Iteraciones sucesivas 

Se observa que la longitud de cada intervalo es de

Por lo tanto la longitud de cada interacción es

En cada iteración que se realiza se quita al intervalo [0,1] una colección de intervalos abiertos y estos a su vez forman un conjunto abierto que están en los reales pero no en el conjunto de Cantor, y este por ser un subconjunto de los reales es cerrado, por ser el complemento de la unión de abiertos. De igual forma, el conjunto de cantor C es la intersección numerable de conjuntos cerrados, entonces C es cerrado. 

En el enunciado se define al conjunto de Cantor como el conjunto de números reales en el intervalo [0,1] que tienen expresión ternaria, todo número real se puede expresar en diferentes bases, si 𝑥 ∈ 𝑅, se puede expresar en base 3 de la forma 

Esto quiere decir expresión ternaria.

Pero en la sucesión de Canto en base 3, al eliminar el intervalo de en medio en cada iteración primero se elimina el 1 cuando se encuentra como primer decimal, en la segunda iteración se eliminan los 1 que aparecen en segundo decimal y así en cada iteración, hasta que desaparece el dígito 1 y solo quedan el 0 y el 2.